検討項目
| 位置 |
検討する部分 |
種別 |
訂正案, コメント |
| P.19 L.20 |
（補題1*lについて） |
X |
|
関連項目
| 位置 |
検討する部分 |
種別 |
訂正案, コメント |
| P.23 L.3 |
必要条件を証明する |
Y3 |
必要性を証明する（→詳細） |
| P.23 L.7 |
十分条件を証明する |
Y3 |
十分性を証明する（→詳細） |
- 補題1*lの原文の表現は，このようになっています：If R is reflexive and complete, then a necessary and sufficient condition for C(S,R) to be defined over a finite X is that R be acyclical over X.
- Rが反射的かつ完備的であるという前提のもとで，
(A)「C(S,R)が有限集合X上で定義されること」の必要十分条件が(B)「RがX上で非循環的であること」であるということを主張する補題です。
-
「必要性を証明する」というのは，(A)であるためには(B)であることが必要であることの証明，すなわち，(A)→(B)の証明のことです。ただし，ここで待遇を取って，not(B)→not(A)の形で証明しています。（証明の第4行目半ばまで。）
-
「十分性を証明する」というのは，(A)であるためには(B)であれば十分であることの証明，すなわち，(B)→(A)の証明のことです。
-
まず「すべての選択肢が選好にかんして無差別」のとき，（すべての選択肢が最良要素なので）C(S,R)が空集合にならない，つまり有限集合X上で定義されることを確認しました。
- つぎに「すべての選択肢が選好にかんして無差別ではない」ときを考えます。
- 少なくとも１つの厳密に順序づけられた選択肢のペアがあるはずなので，その2つを
x1
とx2と考え，x2Px1とします。
- {x1, x2}のうちであれば，最良要素はx2です。
- Sの中でx2が最良要素になれないとすれば，それは「x3Px2となるようなx3がSの中に存在する場合」です。
- ところで，（この証明では推移性を前提していないのですが，それでも，）このときx1Px3は考えられません。
もしそうであるとすると，
x1Px3とx3Px2，および非循環性により，x1Rx2でなければならず，これが先ほどのx2Px1と矛盾するためです。
- よって，x3Rx1です。
- 以上より，「x3Px2となるようなx3がSの中に存在する場合」，{x1, x2, x3}のうちであれば，最良要素はx3です。
（x3Rx1とx3Px2（つまりx3Rx2かつ～(x2Rx3)）が得られているため，最良要素の定義（P.15の定義1*4）によりこのように判断されます。）
-
さて，Sの中でx3が最良要素になれないとすれば，それは「x4Px3となるようなx4がSの中に存在する場合」なのですが，その考え方は上記と同様であり，この場合は
{x1, x2, x3, x4}のうちであれば，最良要素はx4が得られます。
-
こうして順に考察を進めていくと，Sの要素は有限なのですから，いずれSの中に越えるもののない，真の最良要素が得られるはずです。
- 以上，「すべての選択肢が選好にかんして無差別ではない」ときにも最良要素が存在し，C(S,R)が定義されるということを確認できました。
-
いずれの場合にも最良要素が存在し，C(S,R)が定義されることが確認できたため，十分性の証明が終了します。
|
|
本ページの概要とお願い：
- 本ホームページは，Amartya Sen先生の『集合的選択と社会的厚生』（日本語版, 勁草書房）の
特定の記述項目について，読む上でのポイントを考えるものです。
-
本ホームページの主旨や注意などについては，こちら（「読解のポイントを探る」項目リストページ）をご覧下さい。
|
|
[2012年4月29日 初版をアップ]
|