検討項目
| 位置 |
検討する部分 |
種別 |
訂正案, コメント |
| P.213 L.15 |
（定理10*2について) |
X |
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- 限定的同意が仮定されています。色々な可能性がありますが，特に∀i:xRiyと仮定しました。（強いパレート基準（P*, P.66）があるため，∀i:xRiyに加えて1人でもxPiyの個人がいれば，xPyとなります。つまり，∀i:xPiy→xPy。）
- ∀i:xRiyなので，どの個人もyPizであればxRiy &yPiz→xPizになります。また，どの個人もyIizであればxRiy &yIiz→xRizになります。
- 「中立性と非負の反応性より，...yRz→xRz」の議論は，定理10*1と同様です。
- 定理10*1では，∀i: [(xPiy→zPiy)&(xIiy→zRiy)]から，xRy→zRyを導いたのでした。
- 今回は，∀i: [(yPix→xPiz)&(yIiz→xRiz)]が得られています。
- 定理10*1の式の展開で，x→y, y→z, z→xと置き換えた式になっています。
- よって，結果も同様に置き換えて，yRz→xRzが得られました。
- 「同様にして，zRx→zRy」の議論は，以下のように考えます。
- 定理10*1では，∀i: [(yPiz→yPix)&(yIiz→yRix)]から，yRz→yRxを導いたのでした。
- 今回は，∀i: [(zPix→zPiy)&(zIix→zRiy)]を考えます。（この式は確かに成立します。どの個人もxRiyなので，zPixであればzPix &xRiy →zPiyです。また，zIixであればzIix &xRiy→zRiyになります。）
- これは，上の定理10*1の式の展開で，x→y, y→z, z→xと置き換えた式になっています。
- よって，結果も同様に置き換えて，zRx→zRyが得られました。
- yRz→xRzとzRx→zRyがあるため，(xRy & yRz & zRx)→ (xRy & xRz & yRz & zRx & zRy)です。
- 右辺の中の順番を入れ替えて，(xRy & (xRz & zRx) & (yRz & zRy) )→ (xRy & yIz & xIz)です。
- さて，yRxが仮定されました。
- 強いパレート基準の下では，∀i:xRiyと∃i:xPiyが成立するとxPy，つまりxRy & 〜(yRx)です。よって，yRxであれば，xPyが成立しません。もともと∀i:xRiyでしたから，〜（∃i:xPiy）が
必要です。つまり，全員∀i:(xRiy & yRix)，すなわち，∀i:xIiyとなります。
- ∀i:xIiyの条件下で，xPiz, xIiz, zPiy, zIiyを前提すると，それぞれ，次のようになります。
- xPizの場合：xPiz→xIiy & xPiz → yPiz
- xIizの場合：xIiz→xIiy & xIiz → yIiz
- zPiyの場合：zPiy→zPiy & yIix → zPix
- zIiyの場合：zIiy→zIiy & yIix → zIix
- こうして，(xPiz→yPiz) & (xIiz→yIiz)と(zPiy→zPix) & (zIiy→zIix)が得られました。
- よって，(xPiz→yPiz) & (xIiz→yRiz)と(zPiy→zPix) & (zIiy→zRix)も成立します。
- 前者の式より，xRz→yRzが得られます。
- 定理10*1では，∀i: [(xPiy→zPiy)&(xIiy→zRiy)]から，xRy→zRyを導いたのでした。
- 今回は，∀i: [(xPiz→yPiz) & (xIiz→yRiz)]が得られています。
- 定理10*1の式の展開で，yとzを置き換えた式になっています。
- よって，結果も同様に置き換えて，xRz→yRzが得られました。
- 後者の式より，zRy→zRxが得られます。
- 定理10*1では，∀i: [(yPiz→yPix)&(yIiz→yRix)]から，yRz→yRxを導いたのでした。
- 今回は，∀i: [(zPiy→zPix) & (zIiy→zIRix)]が得られています。
- 定理10*1の式の展開で，yとzを置き換えた式になっています。
- よって，結果も同様に置き換えて，zRy→zRxが得られました。
- 続いての2つの無差別を導出する式はよいでしょう。
- 準推移性の否定には，
(xRy & yRz &zRx)の循環か，(yRx & xRz &zRy)の循環のいずれかが成立する場合があることがまず必要でした。
- ですが，(xRy & yRz &zRx)の循環か，(yRx & xRz &zRy)の循環のいずれかが成立すると，その3つの関係のうち，少なくとも2つが無差別になってしまうことが確認されました。
- そうしたときには，循環していても （xPy & yPz & zRxのような事態になりませんので），準推移性は否定されません。
- 以上より，準推移性の不成立が不可能であることが確認されて，証明終了となります。
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本ページの概要とお願い：
- 本ホームページは，Amartya Sen先生の『集合的選択と社会的厚生』（日本語版, 勁草書房）の
特定の記述項目について，読む上でのポイントを考えるものです。
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[2015年7月28日 初版をアップ]
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